Les fractales en php Mandelbrot

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Voici le code :

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class Mandelbrot
{


    function Mandelbrot()
    {
        for ($x = -19; $x < 19; $x++) {
            echo("\n");
            for ($y = -19; $y < 19; $y++) {
                if (($out = $this->iterate($x/20.0,$y/20.0)) == 0)
                    echo("*");
                else
                    echo("_");

            }
        }
    }

    function iterate($x,$y)
    {
        $cr = $y-0.5;
        $ci = $x;
        $zi = 0.0;
        $zr = 0.0;
        $i = 0;
        while (true) {
            $i++;
            $zr2 = $zr * $zr;
            $zi2 = $zi * $zi;
            // Calul de la nouvelle valeur de z
            list($zr, $zi) = array(
                $zr2 - $zi2 + $cr,
                2 * ($zr * $zi) + $ci
            );
            // Si le module est supérieur à 2
            if ($zi2 + $zr2 > BAILOUT)
                return $i;
            // si cela fait la millieme boucle.
            if ($i > MAX_ITERATIONS)
                return 0;
        }

    }


}

$m = new Mandelbrot();
?>

Comment cela marche.

Rappel sur les complexes

  • un nombre complexe est composé d’une partie réelle et une partie imaginaire : a + i b ici a est la partie réelle et b est la partie imaginaire
  • le module d’un nombre complexe représente la distance entre les coordonnées du point et le centre. |module|^2 = a^2 + b ^2
  • la multiplication d’un nombre complexe donne (a + ib)^2 = (a^2-b^2)+2ab * i

La version simple

il existe une video en anglais qui explique cela très bien.

  • Je crée un tableau (x,y) de 20 * 20 qui va de [1, -1] en largeur et en hauteur
  • j’effectue la boucle suivante.
  • je calcule la valeur z1 qui est égale à z0^2 + c avec c qui est x+i*y.
  • puis je calcule la valeur de z2 = z1^2 + c puis z3..
  • je quitte la boucle pour deux raisons.
    • si le module est supérieur à 2, le module devient de plus en plus grand et dépasse 2.
    • au bout de 1000 boucles la valeurs n’a toujours pas dépassé 2. Je renvoie 0

C’est le code de la fonction iterate. le php ne connaît pas les complexes(c’est natif en python..) donc le chiffre z est divisé en 2 zr la partie réelle et zi la partie imaginaire.

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function iterate($x,$y)
{
    $cr = $y-0.5;
    $ci = $x;
    $zi = 0.0;
    $zr = 0.0;
    $i = 0;
    while (true) {
        $i++;
        $zr2 = $zr * $zr;
        $zi2 = $zi * $zi;
        // Calul de la nouvelle valeur de z
        list($zr, $zi) = array(
            $zr2 - $zi2 + $cr,
            2 * ($zr * $zi) + $ci
        );
        // Si le module est supérieur à 2
        if ($zi2 + $zr2 > BAILOUT)
            return $i;
        // si cela fait la millieme boucle.
        if ($i > MAX_ITERATIONS)
            return 0;
    }

}

Si on compte le nombre d’étapes pour dépasser 2 on obtient le schéma suivant.

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function Mandelbrot()
{
    for ($x = -19; $x < 19; $x++) {
        echo("\n");
        for ($y = -19; $y < 19; $y++) {
            if (($out = $this->iterate($x/20.0,$y/20.0)) == 0)
                echo(" ");
            else
                echo(chr(41+$out%16));

        }
    }
}

Voici le résultat

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--------------.......///1241410/....--
-------------.......///023.2520//....-
------------.......///053)1 ,*1///....
-----------.......//00128    ,20////..
----------......//0001130    ,2100///.
--------......//012222348    7432000,/
-------.....///017+644.*1865+1/73222)1
------....////00164 *4          .68)*)
-----..//////00024-              6  23
---..///////0002868                 .1
-../000///00011/23                 ,61
.//1611111111125.                   +3
//01)3326422224,                     8
//014*.67-753352                     )
//113) 2) 73757                      8
/0125,       )*                      )
1+34-         0                      6
26780         +                      2
48/ 6         )                     41
                                   621
48/ 6         )                     41
26780         +                      2
1+34-         0                      6
/0125,       )*                      )
//113) 2) 73757                      8
//014*.67-753352                     )
//01)3326422224,                     8
.//1611111111125.                   +3
-../000///00011/23                 ,61
---..///////0002868                 .1
-----..//////00024-              6  23
------....////00164 *4          .68)*)
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--------......//012222348    7432000,/
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-------------.......///023.2520//....-

C’est ce qui est assez amusant dans les fractales, les formules sont très simples. Mais le résultat est très impressionnant.

Des liens